Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner

By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes type scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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Der Leser überlege, wie man die Symmetrie einer Relation an ihrem Graph bzw. Pfeildiagramm erkennt! In unseren einführenden Beispielen kam auch die Formulierung "Abraham Gotthelf, Erich und Herbert haben denselben Familiennamen" '1or, die - das wissen wir nun schon - nur korrekt sein kann, wenn die Relation "hat denselben Familiennamen wie" symmetrisch ist. Dies ist in der Tat der Fall. Aber da hier mehr als zwei Elementen ein gemeinsames Merkmal zugesprochen wird, spielt noch eine weitere Eigenschaft der Relation eine Rolle.

Welche der folgenden Teilmengen von &J(M) sind Zerlegungen von M? a) {{a, b, cl, {cl, {d, g}}, c) {{a, b, e, g}, {cl, {d,J}} , b) {{a, e, g}, {c, a}, {b, e,J}}, d) {{a, b, c, d, e,J, g}}. 15. Man betrachte alle in einer Ebene liegenden Dreiecke. Ist ß irgendein Dreieck, so sollen zur Klasse K(ß) alle zu ß ähnlichen Dreiecke gehören. Man prüfe, ob diese Einteilung eine Zerlegung ist. 16. Welche der folgenden Mengen sind endliche, welche unendliche Mengen? a) MI = {x I xe N und x > 5}, b)M2 = {xlxeNundx< looI00}, c) M J = {x I xe N und x 2 > 100}, d) M 4 ·= {x I xe N und 1010 I x}, e) M s = {x I xe Rund 0,001 < x < 0,002}, f) M 6 = {x I xe G und lxi< l000}.

Ist Teiler von, ist leichter als, ist höchstens 100 km entfernt von, steht im Alphabet vor, ist enthalten in, aus ... folgt). Man sagt, jene Elemente von M stehen in dieser Relation; so stehen die Elemente 4 und 256 in der 48 2. Relationen Relation "ist Teiler von". Offenbar kommt es i. allg. auf die Reihenfolge der Elemente an; die Elemente 256 und 4 stehen nicht in der Relation "ist Teiler von". Also lassen sich die in einer bestimmten Relation R in M stehenden Elemente x, Y E M als geordnete Paare (x, y) auffassen (vgl.

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