Beiträge zur Geometrischen Algebra: Proceedings des by Johannes André (auth.), Hans J. Arnold, Walter Benz,

By Johannes André (auth.), Hans J. Arnold, Walter Benz, Heinrich Wefelscheid (eds.)

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Jede bis auf Isomorphie zu (G( +), es, 0) geometrisch äquivalente vektorielle Gruppe kann durch eine Abbildung A: G -7 S(G) mit (8), (9) und (10) gemäß (11) beschrieben werden. Beweis. Ist A: G -7 S(G) eine Abbildung mit (8), (9), (10), so ist G mit der in (11) gegebenen Operation eine Gruppe, denn (10) ist äquivalent zum Assoziativgesetz, nach (9) ist "0" neutral bzgl. "+", und A~ 1(0) ist invers zu a. Die geometrische Äquivalenz (G( +), es, 0) '" (G( +), es, 0) folgt aus Satz 1, da (7) und (8) gleichwertig sind.

1 {o-C2 = -tim c2d2(r - l)d2 -1 ' .... 1 fürd2 > 1 fürd2 = 1" Die beiden Grenzwerte sind somit gleich, wenn d1 = d2 = d > 1 gilt oder wenn d = 1 und C2 = - Cl ist. 48 D. Betten Damit ist gezeigt, daß unter den Voraussetzungen des Satzes das Vektorfeld X von der Klasse Cl ist, und nach ([3], VI, § 4 Theorem 3) folgt, daß die Einparametergruppe Hals C l _Transformationsgruppe wirkt. Da auch die Rotationsgruppe D von der Klasse Cl ist, und da Hund D die Gruppe Q erzeugen, folgt, daß die Transformationsgruppen Q(p, q, d, Cl' C2) differenzierbar sind.

S2) Für alle x, y E Cl ist s·a(x + y) = s·a(x) + s·a(y). Man kann leicht zeigen, daß die starke Isotopie eine Äquivalenzrelation ist. Offensichtlich ist ein starker Isotopismus (s, a) genau dann ein Isomorphismus, wenn s das Einselement von C2 ist; und mit F = H = sa, G = a ist (F, G, H) ein Isotopismus. Satz 1. Für projektive Ebenen 11 1 und 11 2 über den assoziativen cartesischen Gruppen Cl = Cl(Ol> EI' Ul> VI) und C 2 = C 2 (02, E 2 , U2 , V2 ) gilt: Cl und C2 sind genau dann stark isotop, wenn es einen Isomorphismus cfo von 11 1 auf 11 2 gibt mit cfo( 0 1 ) = O2 , cfo( Ul ) = U2 , cfo( VI) = V2 und cfo(El ) E E 2 V2 • Beweis.

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