Cohomologie Galoisienne (Lecture Notes in Mathematics) by Jean-Pierre Serre

By Jean-Pierre Serre

This new version contains a survey (mostly with out proofs) of the most effects acquired within the 30 years following unique booklet. It additionally contains more moderen fabric, together with "résumés de cours" on the Collège de France (1990 - 1991 and 1991 - 1992), and an up-to-date bibliography.

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Example text

Vu le corollaire ~ la prop. 20, il suffit donc de montrer que, si l'on a une suite exacte 0 -~ B --* A --* C --* 0, et si notre assertion est vraie pour B et pour C, elle est vraie pour A. Cela r~sulte d'un petit diagramme de t y p e standard. Plus pr~cis~ment, la forme bilin6aire ~crite ci-dessus ~quivaut ~ la donn~e d ' u n homomorphisme ai : H i ( G , A) , H n - i ( G , A*)* , et dire qu'elle est non d4g4n4r4e signifie que ~i est un isomorphisme. D'autre part, on a la suite exacte: 0 ---* C* } A* - - * B* - - * 0 .

Tout sous-groupe ouvert d'un groupe de Poincard est un groupe de Poincard de m~me dimension. On l'a vu en cours de route. Remarques. 1) Le fait que I soit isomorphe h Q v / Z v montre que A est canoniquement isomorphe d A (comme G-module). On a une excellente dualit6. 2) Notons Up le groupe des unit6s p-adiques (61~ments inversibles de Zv). C'est le groupe des automorphismes de I. Comme G op~re sur I, on voit que cette op6ration est donn6e par un homomorphisme canonique x:G ,Up. Cet homomorphisme est continu; il d6termine I (~ isomorphisme pros); on peut dire qu'il joue le r61e de l'homomorphisme d'orientation lrl - , {±1} de la topologie.

Interpr4tation de Hi: g4n4rateurs Soit G un pro-p-groupe. Dans toute la suite de ce §, on pose: Hi(G) = Hi(G, Z / p Z ) . En particulier, Hi(G) d4signe Hi(G, Z / p Z ) = Horn(G, Z / p Z ) . P r o p o s i t i o n 23. Soit f : G1 --* G2 un morphisme de pro-p-groupes. Pour que f soit surjectif, il faut et il s u ~ t que H i ( f ) : H i ( G 2 ) ~ H i ( G 1 ) soit injectif. La n4cessitd est claire. Inversement, supposons que f(G1) # G2. I1 existe alors un quotient fini P2 de G2 tel que l'image P1 de f(G1) dans P2 soit distincte de P2.

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