Darstellungstheorie von endlichen Gruppen by Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Müller (auth.)

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Ee enth~lt. 54 c) Sei {x 1 ' ... 'x } eine Rechtstransversale von H' in G. FUr i ; 1, ... ,q . nd Ei :; xi EX i paarweise verschiedene zentral-primitive Idempotenq te von KH. Da gilt ~Fx. i;l 1. ein KG-Untermodul des einfachen KG-Moduls E ist, q -1 Ex. 1. LFx .. Die Summe ist direkt wegen FXi i;l 1. E EE i · Nun laBt sich j edes Element von F ® KH' KG q EX. 1. eindeutig in der Form mit f 1 , ... ,fq E F schreiben. ®x. i;l 1. 1. x. E E wohldefiniert; man stellt leicht i;l 1. 1. i;l 1. 1. fest, daB a ein KG-Epimorphismus ist und daB Quelle und Ziel ·'on a die gleiche K-Dimension haben.

Sei E unter allen CCG-Moduln, auf die U nicht trivial wirkt, einer mit minimaler CC-Dimension. Dann ist E einfach. Da G eine M - Gruppe ist, gibt es eine Untergruppe H ~ G und einen eindimensionalen CCH-Modul = fCC mit E ~ FG. 1st {x 1 , ••• ,X q } eine Rechtstransversale von H in G, dann ist B = {f ® x 1 ' ••• ,f Ill> X q } eine IC-Basis von FG. h. ~FG,B ist ein Monomorphismus. 1st dann ist G abelsch, also auflosbar. Sei nun q '*' 1. Der durch den trivialen CCH-Modul CC induzierte Modul CC G ist halbeinfach und enthalt den trivialen CCG-Modul CC ~ (L,g) als echten Untermodul.

Diese sind wegen EEe t 0 isomorph zu dem eindimensionalen KZ-Modul EEK =: F. Folglich ist XE(z) = [E: KlxF(z) = xE (1) ·XF(z) fUr aIle z E Z. FUr jedes z E Z ist {z} eine Konjugationsklasse von G, und wir erhalten aus dem vorigen Beweis XE (z) xE (1) z·EE = EE = XF(Z)oEE ' also EE = XF(z -1 )zEE· Ein Koeffizientenvergleich an gz liefert jetzt xE(g -1 z -1 ) = XF(z -1-1 Sei nun g1, •.. ,gn ein )xE(g ) fUr alle z E Z, g E G. voll~tandiges Reprasentantensystem der Neben- klassen von Z in G. ). ~ Das letzte Produkt ist ganz, da e ein zentrales Idempotent ist und n -1 L..

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