Determinanten und Matrizen by Prof. Dr. Fritz Neiss (auth.)

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Beweis: Weil ist, ist \8-1m- 1 die Inverse zu m \8. Mit m' wird die Matrix bezeichnet, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten aus m entsteht; sie heißt die transponierte Matrix. k' e Also steht Gik in (m\8)' in der k ten Zeile und i ten Spalte. Das an gleicher Stelle stehende Element aus \8' m' heißt 2)bek a i12 e = Cik' weil in folge der Vertauschung von Zeilen und Spalten bei mund \8 jetzt der erste Index die Spalte und der zweite die Zeile angibt. Zu erwähnen ist noch (m')' = mund m'-l = (m- 1)'.

5] Eine weitere Invariante wird folgendermaßen erhalten: Aus den Elementen der n + 1 Vektoren ' xn) (X2l) X12 X22 rl = ( : ,h = : ' Xln X2n bilden wir die (n + 1)-reihige Xn D= r"+1 ... , = ('xn+l'l') Xn+1,2 : Xn+1,n' Determinante X 21 ••• Xntl,l X12 X22 ··' xn+l,Z 1 1 ... 1 Wir machen eine orthogonale Substitution: Das sind n (n Form haben: + 1) ti = 2lt);. Gleichungen, die, ausführlich geschrieben, folgende (i = 1,2, ... , n + 1) Daraus ergibt sich folgende Identität: 0 Yn Y21 ... Yn+l,l a 21 ...

5l{ und lB seien quadratisch und nichtsingulär, und 5l{5l{' = lB lB'. Dann ist 5l{ = lB 6, wo 6 orthogonal ist. 5. (ai k) habe Dreiecksform, d. h. ai k = 0 für i < k. Dann hat auch die Inverse, sofern sie existiert, Dreiecksform, in der die Nullen ebenfalls rechts oben stehen. 6. Es sind alle Matrizen I anzugeben, für die 12 = (~ ;) ist. -1 -I) -1 0 7. Die 6 Matrizen 61 = (' 0 0) 0 1 0 001 6, ~ (=~ 7 7 -1 3 6,~ (; , -11) -12 , 6 5 - 5 /1 = -1 -2 2-7) (2 -1 - 2 , \1 - 1 0 (-I -D -12) I6 C 4 , 63 = 66 = ~ 1 0 - 2 7 -12 -1 3 - 5 54 Matrizen.

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